Le théorème de Bernoulli s'appuient sur deux postulats: dans un filet de courant, il y a conservation de la matière et conservation de l'énergie .
La conservation de matière ( celle du débit ) a été vérifiée précédemment. Nous avions alors fait l'hypothèse que l'épaisseur e du filet reste constante. C'est une approximation correcte quand les variations de vitesse d'écoulement ne sont pas importantes. Ce n'est plus le cas dans l'enregistrement ci-dessus.
1) conservation de la matière - conservation du débit
La conservation du débit est évidente: au cours de l'écoulement d'un fluide, il ne peut y avoir variation des quantités de matière.
2) conservation des énergies
Il y a deux formes évidentes d'énergie mises en jeu au cours de l'écoulement du filet d'eau :
- l'énergie cinétique de la forme Ec = 1/2 m v²
- l'énergie potentielle de pesanteur de la forme Epp = m g z
Quand S diminue, v augmente (conservation du débit) donc Δv est positif .
La variation Δv de la vitesse d'écoulement provoque une variation d'énergie cinétique ΔEc= 1/2 m Δv² positive.
Quand S diminue, z augmente ( voir photographie ci-dessus) donc Δz est positif et ΔEpp = m g et est positif.
Quand S diminue, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur augmentent.
La conservation de l'énergie ne peut donc être respectée sauf si on fait intervenir une troisième forme d'énergie qui diminuerait quand la section S diminue.
Remarque: pour la suite du raisonnement, on considère que le fluide est lui-même incompressible * sinon il lui suffirait de se contracter pour que sa masse volumique augmentant, Δv et Δz tendent vers zéro.
* : les liquides, donc l'eau, ne sont pas compressibles - les gaz le sont …
… néanmoins, on pourra considérer que la compressibilité des gaz ne remet pas en cause le théorème de Bernoulli en aéronautique tant qu'on n'atteint pas des vitesses proches de celles du son.
L'unique façon de respecter le postulat de conservation de l'énergie est d'inclure dans le système étudié les surfaces qui contiennent l'écoulement.
Ces surfaces s'opposent à la dispersion du fluide et subissent des contraintes. En absence de fluide, les contraintes et les déformations (apparentes ou pas) disparaissent.
L'énergie potentielle élastique Epé stockée par ses surfaces permet de comprendre comment l'énergie est conservée au cours de l'écoulement.
Le postulat de conservation de l'énergie devient Ec + Epp + Epé = cstte
ou plutôt : ΔEc + ΔEpp + ΔEpé = 0
Ce qui signifierait que quand S diminue , l'énergie cinétique augmentant, ainsi que l'énergie potentielle de pesanteur, l'énergie potentielle élastique, c'est-à-dire la déformation (apparente ou pas) des surfaces diminue.
Cela nous parait en première analyse paradoxal !
Pour la suite de la démonstration, il est important:
- de se souvenir qu'énergie, force et pression sont étroitement liées:
. une force pressante est le produit de la pression par la surface sur laquelle elle s'exerce F = P S
. l'énergie produite par le travail d'une force est le produit de l'intensité de la force par une distance E = F d
. donc une énergie E = F d = P S d = P V est le produit d'une pression par un volume et une pression est le rapport d'une énergie par un volume P = E / V
- d'admettre que lorsque les surfaces qui contiennent l'écoulement ne sont pas déformables, elles sont comprimées par le fluide ce qui se traduit par l'existence d'une pression exercée par le fluide sur les obstacles.
Alors si on rapporte l'expression de la conservation de l'énergie à l'unité de volume, on obtient :
Pour la vérification, nous avons utilisé un manomètre à eau colorée avec de la fluorescéine.
Ce manomètre est incliné pour obtenir une meilleure sensibilité.
Un des obstacles est percé à sa base et un tuyau souple, affleurant l'obstacle, au fond du rétrécissement, est relié à un des côté du manomètre.
Le manomètre montre une surpression du côté du tuyau qui débouche au fond du rétrécissement.
C'est logique: on mesure alors la somme de la pression atmosphérique et de la pression hydrostatique ( h ρ g ) due à la colonne d'eau au-dessus de la sonde.
Dans un second temps, on relie le second côté du manomètre à un tuyau souple qu'on immerge en amont du rétrécissement . L'extrémité de ce tuyau est posé sur le fond donc à même altitude que le premier.
La hauteur d'eau étant supérieure au niveau du rétrécissement, on s'attend à obtenir encore une surpression du côté du tuyau qui débouche au fond du rétrécissement.
En fait, on observe une dépression du côté du tuyau relié au rétrécissement.
C'est la preuve que lorsque la vitesse d'écoulement augmente, la pression diminue.
Ce phénomène s'appelle effet VENTURI.
Une preuve irréfutable de l'effet Venturi :
C'est lui qui permet d'expliquer l'aspiration des trompes à eau du laboratoire, le fonctionnement du carburateur à essence, l'injection d'air dans les filets d'eau du jacuzzi …
Application numérique :
vérification expérimentale de l'égalité 1/2 ρ Δv² + ρ g Δz + Δ P = 0
La variation du niveau d'eau Δh est mesurée à l'aide d'un double décimètre entre le rétrécissement et la partie la plus large de l'écoulement.
On trouve une augmentation d'environ 4 mm du niveau de l'eau au rétrécissement.
La variation de l'altitude Δz du centre de gravité du filet est en fait deux fois moindre. Soit Δz = 2 mm .
La mesure de Δv est effectuée sur AVIMECA.
La vitesse de l'écoulement au niveau du rétrécissement donne v = RACINE ( (0,351 - 0,306)² +(0,264 -0,265)²) / 0,2 soit v = 0,225 m s-1.
On admet qu'elle est très grande par rapport à la vitesse d'écoulement sur la partie la plus large de l'écoulement. Alors Δv = 0,225 ms-1 et Δv² # (Δv)²
si l'expression 1/2 ρ Δv² + ρ g Δz + Δ P = 0 est vérifiée alors :
ΔP = - 1/2 ρ Δv² - ρ g Δz = 1/2 1000 0,225² + 1000 9,8 0,002 = - 45 Pa
La pression atmosphérique vaut environ 1000 hPa - une variation de 45 Pa est faible mais peut être mesurée avec le manomètre.
Le manomètre, une fois redressé fait apparaître une dépression du côté de rétrécissesment d'environ 5 mm d'eau.
La différence de pression entre les deux surfaces du manomètre s'écrit
ΔPmesuré = - ρ g h ( < 0 car dépression)
soit ΔPmesuré = -1000 x 9,8 x 0,005 = - 49 Pa
Ces deux résultats sont très proches (aux incertitudes près sur les mesures - qui sont nombreuses ici).
Le théorème de Bernoulli semble donc avoir été vérifié.
