A partir des résultats précédents, nous avons modélisé le trajet de la Terre vers la Lune.
Le bouton "Lancer" de l'application permet de visualiser
le module sur son orbite d'attente terrestre soit en temps réel, soit avec un effet d'accélération x 100 ou x 1000.
Le bouton "injection" allume le moteur auxiliaire qui donne au module sa vitesse d'injection de 10 710 m/s.
Le trajet s'effectue ensuite vers la Lune et se termine sur une orbite d'attente lunaire.
Lisez ici avant de télécharger ici!
Attention: pour que le programme fonctionne, il faut
- régler le niveau de sécurité d'EXCEL
(Outils / Options / Sécurité / Sécurité des macros /
niveau de sécurité moyen),
- autoriser l'exécution des macros à l'ouverture du classeur.
Une vitesse d'injection de 10 710 m / s semble être
idéale:
- pas de dépenses énergiétiques superflues,
- la possibilité d'injecter le module sur une orbite d'attente lunaire de basse altitude, directement (sans avoir besoin de réallumer les moteurs).
Des vitesses inférieures ne permettent pas d'atteindre la lune (le module aurait alors une orbite elliptique autour de la Terre). Des vitesses supérieures permettraient des trajets plus courts (ce qui pour notre mission - non habitée - ne présente pas d'intérêt) et nécessiteraient un freinage en fin de trajet.
On visera une orbite d'attente lunaire circulaire à une altitude de 400 km (vitesse de satellisation 1 510 m /s).
Mais ces variations d'énergies se compensent (en effet - en absence de frottements - l'énergie mécanique se conserve).
Connaissant l'énergie mécanique initiale, définie par la position initiale du module (son orbite d'attente terrestre) et sa vitesse initiale (sa vitesse d'injection), et connaissant les variations des énergies potentielles de pesanteur, on peut déduire les variations de l'énergie cinétique du module, donc l'évolution de sa vitesse.
L'orbite de transfert doit amener le module de son orbite d'attente terrestre à une orbite d'attente lunaire.
Pour cela, le module doit être équipé d'un moteur dont le rôle sera de donner suffisamment de vitesse pour quitter l'orbite terrestre et injecter le module sur son orbite de transfert. Mais quelle doit être la vitesse idéale du module lors de son injection?
Nous nous sommes intéressé aux variations des énergies suivantes :
- l'énergie potentielle de pesanteur Epp exercée par la Terre et par la Lune sur le module,
- l'énergie cinétique Ec du module.
Ces énergies varient selon la position x du module au cours de son trajet:
Un satellite en orbite circulaire autour d'un astre décrit une trajectoire circulaire centrée sur le centre de gravité de l'astre et son mouvement est uniforme (lois de Kepler).
Ce satellite en orbite circulaire autour d'un astre subit deux effets contradictoires:
- le Principe d'inertie qui tend à imposer au satellite un mouvement rectiligne et uniforme tangent à sa trajectoire circulaire, et qui tend donc à éloigner le satellite de l'astre,
- l'interaction gravitationnelle exercée par l'astre, qui tend à rapprocher le satellite de l'astre.
Ces deux effets se compensent pour une certaine vitesse. Si celle ci est trop grande, alors le satellite s'éloigne de sa trajectoire circulaire. Si la vitesse est trop faible, alors le satellite se rapproche de l'astre.
La vitesse de satellite sur une trajectoire de rayon R autour d'une planète de masse m s'écrit
et sa période révolution T s'écrit
Par exemple, un satellite lunaire à une altitude de
400 km à la surface de la Lune (rayon égal à
1 737 km et masse égale à 7.3E22 kg) aura
une vitesse de 1510 m /s et une période de
révolution de 8 900 s (2h 30min).
L'expression de la vitesse et de la période de révolution sont obtenues par l'application de la deuxième loi de NEWTON:
